<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 6 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione  

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627269-9

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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          Freguesia do 
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<P>
                                I
 Sumrio

Terceira Parte

 Captulo 3 -- Mltiplos e 
  divisores 
 1- Divisibilidade e 
  padres ::::::::::::::::::: 223
 2- Critrios de 
  divisibilidade :::::::::::: 231
 3- Os nmeros primos :::::: 246
 4- Decomposio em fatores 
  primos :::::::::::::::::::: 252
 5- Mltiplos e padres :::: 259
 Pim! Pam! Pum!: ao sobre 
  mltiplos ::::::::::::::::: 269
 6- Mnimo mltiplo 
  comum ::::::::::::::::::::: 270
 7- Clculo prtico e 
  clculo mental do mmc ::::: 275
 8- Divisores e o mximo 
  divisor comum ::::::::::::: 284
 9- Problemas envolvendo 
  divisores e mltiplos ::::: 290

<95>
<P>
<tmat. medida c. 6>
<T+223>
Captulo 3 -- Mltiplos e 
  divisores

<96>
1- Divisibilidade e padres

  Existem muitas situaes do dia a dia em que nos interessa saber se uma diviso  ou no  exata. Veja exemplos:
<R+>
  Uma dona de casa, ao fritar pasteizinhos para 5 pessoas, prefere fritar 15 em vez de 17. Ela faz isso porque sabe que 15 pastis podem ser distribudos igualmente entre 5 pessoas, pois 155=3, enquanto que 17 no, porque 173 tem quociente 5 e resto 2. Neste caso, 15  divisvel por 3 e 17 no .
  Muitos livros so produzidos em impressoras que recebem folhas de papel muito grandes, que depois so dobradas e cortadas de modo a se obter blocos de 16 pginas. Por esse motivo, procura-se fazer com que o nmero de pginas do livro seja divisvel por 16 (ou divisvel por 8, na pior das hipteses).
<R->
  Um livro de 160 pginas teria 10 blocos, pois 16016=10. Em um livro de 170 pginas seria diferente. Como 170 dividido por 16 tem quociente 10 e resto 10, o livro teria 11 cadernos; seriam 176 pginas, mas as 6 ltimas no seriam aproveitadas.
<97>
  Neste caso, 160  divisvel por 16 e 170 no .

  Um nmero natural  divisvel por outro natural, excluindo-se o zero, se a diviso entre eles  exata, ou seja, tem resto zero.

Critrios de divisibilidade

  Ao observarmos os padres e regularidades, podemos estabelecer os critrios de divisibilidade, ou seja, saber, saber se um nmero  divisvel por outro, sem efetuar a diviso.
<P>
  Por exemplo, saber se um nmero  divisvel por 2  simples.
  Vemos de imediato que 2, 4 e 6 so divisveis por 2. Depois de 6, o prximo nmero divisvel  6+2=8 e o prximo  8+2=10 e assim por diante. Isto , de um nmero divisvel por 2 para o outro h um aumento de 2 unidades. Percebemos ento que os nmeros divisveis por 2 seguem um padro: so todos pares.

  Um nmero natural  divisvel por 2 quando  par.

Exemplo

<R+>
 32.457 no  divisvel por 2, porque  nmero mpar. Podemos ter certeza disso, mesmo sem efetuar a diviso.
<R->
  Tambm  fcil verificar se um nmero  divisvel por 5. Observe no quadro a seguir alguns desses nmeros.

<R+>
_`[{quadro adaptado: sequncia numrica de 0 a 40. Esto destacados os nmeros 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 e 40_`]
<R->

  Aqui  fcil descobrir o pa-
 dro, no  mesmo? Eles aumentam de 5 em 5 e comeam no zero. Portanto, conclumos:

  Um nmero natural  divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo

<R+>
 72.813 no  divisvel por 5 porque termina em 3. O menor nmero que devemos somar a 72.813 para torn-lo divisvel por 5  2.
<R->
  O critrio de divisibilidade que vamos mostrar a seguir talvez voc j tenha descoberto sozinho:

  Um nmero natural  divisvel por 10 quando termina em 0.
<P>
  Outros critrios de divisibilidade sero vistos no prximo item.

<98>
Anote

  A palavra *padro* tem vrios significados. Um deles  *modelo para alguma coisa*.
  O significado usado na Matemtica  parecido com esse. Um pa-
 dro  uma caracterstica que se repete, ou o modelo que  seguido. Por exemplo, na sequncia 1, 2, 4, 8, 16, ... todos os nmeros seguem um mesmo modelo: so potncias de 2, isto , 20, 21, 22, 23, 24, ...

Atividades

<R+>
1. Responda:
 a) 39  divisvel por 3?
 b) 39  divisvel por 13?
 c) 40  divisvel por 6?
 d) 40  divisvel por 12?
 e) 108  divisvel por 9?
 f) 108  divisvel por 11?

2. Um comerciante quer premiar seus 15 funcionrios. Nesse prmio ele quer gastar menos que 800 reais. Qual  o maior valor que  menor que 800 e pode ser dividido entre os funcionrios? 
  Quer uma ajuda?
  Efetue a diviso: 80015
  O resto dessa diviso indica o que est "sobrando". Para que no "sobre" nada, quanto voc deve tirar de 800?
 3. Releia a definio de divisibilidade. De acordo com ela, 17  divisvel por 17? E 26  divisvel por 26?
 4. Considere os nmeros 3.483, 3.484, 3.485, 3.486, 3.487, 3.488, 3.489, 3.490 e 3.491. Desses nmeros, quais so divisveis por 11? Uma dica: basta efetuar apenas uma diviso.

5. Considere os nmeros 100, 105, 110, 115, 120, 125.
 a) Quais so divisveis por 2?
 b) Quais so divisveis por 5?
 c) Quais so divisveis por 10?
 d) Quais so divisveis por 2 e por 5?

6. Informe qual  o maior nmero de 3 algarismos que :
 a) divisvel por 2, mas no por 5;
 b) divisvel por 5, mas no por 2.

7. Leia o exemplo relativo ao nmero de pginas de um livro, logo no incio do texto. Informe se este livro segue a regra, isto , se seu nmero de pginas  divisvel por 16, ou, ao menos, por 8.

Pensando em casa

8. Considere os nmeros 38, 48, 58, 68, 78 e 88. Quais deles so divisveis por 8?
 9. Minha idade  um nmero natural entre 30 e 40, divisvel 
<P>
  por 3 e por 4. Quantos anos eu tenho?
 10.  verdade que todos os nmeros naturais so divisveis por 1?

11. Fazendo estimativas, diga se 200  divisvel por:
 a) 20 
 b) 25 
 c) 30 
 d) 35
 e) 40
 f) 200
  A seguir, use uma calculadora e confirme se suas estimativas estavam corretas.

12. Escreva os nmeros de quatro algarismos divisveis por 5 que obedecem estas condies:
  so mpares;
  o nmero formado pelos dois primeiros algarismos  o qu-
  druplo do nmero formado pelos dois ltimos.
<P>
 13. Faa uma lista dos nmeros divisveis por 4 de 30 at 60. Depois faa uma lista dos divisveis por 4 de 130 at 160. Voc nota algum padro nos nmeros divisveis por 4?
 14. Cada degrau de uma escada tem 16 cm de altura. Nessas condies, a escada toda pode ter 2 m (ou 200 cm) de altura? E 2 m e 40 cm de altura?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<99>
2- Critrios de divisibilidade

  Vamos tratar dos critrios de divisibilidade para os nmeros de 2 a 10. J vimos critrios para 2, 5 e 10.

Divisibilidade por 4 e por 8

  No  o algarismo das unidades que determina se um nmero  divisvel por 4. Por exemplo, 36 e 
<P>
46 terminam em 6, mas o primeiro  divisvel por 4 e o segundo no .
  Entretanto, descobriu-se que se examinarmos os dois ltimos algarismos do nmero, podemos saber se ele  ou no divisvel por 4. Observe:
<R+>
  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... so divisveis por 4;
  100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, ... so divisveis por 4;
  200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, ... so divisveis por 4.
<R->
  Vamos dar um salto de 1.300 unidades em relao  linha anterior. Temos:
<R+>
  1.500, 1.504, 1.508, 1.512, 1.516, 1.520, 1.524, ... so divisveis por 4.
<R->
  Percebeu o padro? Os nmeros formados pelos dois ltimos algarismos coincidem. Qual ser o motivo?
  Na primeira sequncia `(0, 4, 8, 12, ...`) tnhamos nmeros divisveis por 4. Acrescentamos 100 a cada um e formamos a segunda sequncia `(100, 104, 
 108, ...`). Acontece que 100  divisvel por 4 e quando as duas parcelas so divisveis por 4, a soma tambm . Por exemplo:
  40  divisvel por 4, pois 404=10; 100  divisvel por 4, pois 1004=25; portanto, 140  divisvel por 4 e o quociente  10+25=35.
  Toda vez que acrescentarmos 100 a um nmero divisvel por 4 obteremos outro nmero divisvel por 4. Podemos imaginar que a sequncia 1.500, 1.504, 1.508, ... foi obtida da primeira acrescentando-se 100 vrias vezes, pois 1.500=15100. Por isso, os nmeros formados so divisveis por 4.
  Todo esse raciocnio nos leva ao seguinte critrio de divisibilidade:
<P>
  Para verificar se um nmero natural  divisvel por 4:
<R+>
  se o nmero tiver dois algarismos, efetue a diviso por 4;
  se o nmero tiver mais de dois algarismos, ele ser divisvel por 4 se o nmero formado pelos algarismos das dezenas e das unidades  divisvel por 4.
<R->

Exemplo

  13.296  divisvel por 4?
 964=24 resto 0
  Como 96  divisvel por 4, 13.296 tambm .
<100>
  O critrio de divisibilidade por 8  muito parecido. O motivo tambm  parecido: as terminaes dos nmeros divisveis por 8 se repetem de 1.000 em 1.000 unidades. Observe este exemplo:
<R+>
  104, 112, 120, 128, 136, ... so divisveis por 8;
  1.104, 1.112, 1.120, 1.128, 1.136, ... so divisveis por 8.
<R->
<P>
  Se quiser, confira com uma calculadora.
  Por isso, temos o seguinte critrio:

  Para verificar se um nmero natural  divisvel por 8:
<R+>
  se o nmero tiver um, dois ou trs algarismos, efetue a diviso por 8;
  se o nmero tiver mais de trs algarismos, ele ser divisvel por 8 se o nmero formado pelos algarismos das centenas, dezenas e unidades  divisvel por 8.
<R->

Exemplo

  13.296  divisvel por 8?
 2968=37 resto 0
  Como 296  divisvel por 8, 13.296 tambm .

Divisibilidade por 3 e por 9

  Existe um padro nos nmeros divisveis por 3. No  fcil descobri-lo, mas vamos mostr-lo. Veja o padro:
  12  divisvel por 3
  1+2=3
  24  divisvel por 3
  2+4=6
  66  divisvel por 3
  6+6=12
  Percebeu o padro? Quem sabe com um nmero maior?
 13.4133=4.471 resto 0
 1+3+4+1+3=12
  Pois , o critrio  este:

  Um nmero natural  divisvel por 3 se a soma de seus algarismos  um nmero divisvel por 3.

Exemplo

  2.296  divisvel por 3?
  No, porque 2+2+9+6=19, que no  divisvel por 3.
  Ficamos devendo a explicao de por que este critrio vale. Talvez seu professor de 8 ou 9 ano possa explic-lo.
<101>
<P>
  O critrio de divisibilidade por 9  similar. Veja:
  Um nmero natural  divisvel por 9 se a soma de seus algarismos tambm for um nmero divisvel por 9.

<R+>
Desafios e surpresas

1. Este  um jogo de nmeros cruzados, parecido com as palavras cruzadas.

<F->
     !:::::::::::::::
     l A  _ B  _ C  _
!::::r:::::w:::::w:::::w
l A l ... _ ... _ ... _
r::::r:::::w:::::w:::::w
l B l ... _ ... _ ... _
r::::r:::::w:::::w:::::w
l C l ... _ ... _ ... _
h::::h:::::j:::::j:::::j
<F+>

  Voc dever substituir cada ... por um algarismo, de modo que os 
<P>
  nmeros formados estejam de acordo com as seguintes instrues:

Horizontais
 A -- Um nmero em que cada algarismo  o sucessor do algarismo anterior.
 B -- O maior nmero de trs algarismos que seja divisvel por 2.
 C -- Um nmero menor que 300.

Verticais
 A -- Um nmero que no  divisvel por 2.
 B -- Um nmero divisvel por 3, mas no por 2.
 C -- Um nmero de trs algarismos iguais.

2. Considere trs nmeros consecutivos. Podem ser 101, 102 e 103, podem ser 1.999, 2.000 e 2.001 ou podem ser quaisquer outros trs. Quando temos trs nmeros consecutivos, um dos 
<P>
  trs  divisvel por 3. Voc consegue explicar por qu?

_`[{o menino diz: "Que interessante! Em vez de palavras cruzadas, so nmeros cruzados...". A menina continua: "Pois . Para resolver esta atividade use os padres e critrios de divisibilidade que estamos estudando."_`]
<R->

<102>
Divisibilidade por 6 e por 7

  Voc poder descobrir por conta prpria o critrio de divisibilidade por 6 fazendo a prxima srie de atividades.
  J o critrio de divisibilidade por 7 no  uma regra muito prtica. Como  muito complicado, fica mais fcil efetuar a diviso.

Atividades

<R+>
15. Considere os nmeros 540, 1.336, 4.775, 5.313, 6.308, 9.814 e 10.000. Use apenas clculo mental e diga quais deles so divisveis por:
 a) 3 
 b) 4 
 c) 9

16. Dos nmeros do exerccio 15, quais so divisveis por 8?

17. Vamos estudar o critrio de divisibilidade por 6.
 a) Copie e complete a tabela:

_`[{tabela adaptada formada por trs colunas: nmero, quociente da diviso por 6 (se for exata) e quociente da diviso por 2 e, depois, por 3 (se for exata)_`]

 30 -- ''' -- 5
 54 -- ''' -- '''
 70 -- no  exata -- no  exata
 84 -- ''' -- '''
 126 -- ''' -- '''
<P>
 158 -- ''' -- '''
 246 -- ''' -- '''

b) Observando a tabela pode-se tirar uma concluso. (Alis, no  surpresa, porque 6=23.) Copie e complete: Dividir um nmero por 6  o mesmo que dividi-lo por ... e, depois, por ...
 c) Como se faz para verificar se um nmero  divisvel por 6 sem efetuar a diviso?
 d) Considere os nmeros 72.432, 95.103 e 104.444. Sem efetuar a diviso diga quais deles so divisveis por 6.

18. Veja o nmero 23'de... no lugar de ... coloque um algarismo para que ele se torne divisvel por:
 a) 2 e 5 
 b) 3 e 5 
 c) 3 e 4 
 d) 8

19. Quando se pensa em datas  muito frequente usar noes de divisibilidade. Veja um caso: o ms de fevereiro pode ter 28 ou 29 dias. Quando ele tem 29 dias? Nos anos bissextos. E o que so anos bissextos? So aqueles cujo nmero  divisvel por 4. Um exemplo  o ano 2000. H porm excees: um nmero terminado em 00 s pode indicar ano bissexto se for divisvel por 400.
 a) De 2000 a 2020, quais so os anos bissextos?
 b) 1936 foi ano bissexto? E 1900?

20. Copie e complete as sentenas:
 a) 230 no  divisvel por 3 porque ...
 b) 4.016  divisvel por 4 porque ...
 c) 234  divisvel por 9 por-
  que ...
 d) 5.010 no  divisvel por 8 porque ...
<103>
 Pensando em casa

21. Responda sim ou no:
 a) 4.086  divisvel por 4?
 b) 23.512  divisvel por 8?
 c) 56.925  divisvel por 9?
 d) 73.824  divisvel por 6?

22. Existem seis nmeros de trs algarismos que podem ser escritos com os algarismos 1, 4 e 8, sem que eles sejam repetidos.
 a) Escreva esses seis nmeros.
 b) Quais deles so divisveis por 2?
 c) Quais deles so divisveis por 3?

23. Escreva:
 a) o maior nmero de trs algarismos que seja divisvel por 4;
 b) o maior nmero de trs algarismos diferentes que seja divisvel por 4.

24. Considere os nmeros 1.000, 2.000, 3.000, 4.000, 5.000, 6.000, 7.000, 8.000 e 9.000. Diga quais deles so divisveis:
 a) por 6 e tambm por 8;
 b) por 6 e tambm por 9;
 c) por 6 e tambm por 10;
 d) por 8 e tambm por 9;
 e) por 8 e tambm por 10;
 f) por 9 e tambm por 10.

25. Diga se 1.370  ou no divisvel pelos nmeros escritos a seguir. Justifique suas respostas, usando as regras de divisibilidade.
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5

26. Seis pessoas jantaram em um restaurante e receberam a conta: R$111,00. Uma das pessoas comentou:
  -- Pssimo! No podemos dividir igualmente.
  Outra pessoa respondeu: -- No faz mal. Paguemos um pouco mais. Assim  possvel dividir e o garom fica com uma gorjeta.
  Se o garom recebeu quase 10 reais de gorjeta, quanto as pessoas pagaram?

Desafios e surpresas

3. Certo jogo de cartas foi planejado para ter de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribudas aos jogadores e todos devem receber a mesma quantidade de cartas. Qual  o nmero mnimo de cartas que esse jogo pode ter?

4. Diga se as sentenas so verdadeiras. Se forem falsas, d um exemplo mostrando isso.
  Todo nmero divisvel por 2  divisvel por 4.
  Todo nmero divisvel por 4  divisvel por 2.
<P>
  Todo nmero divisvel por 5  divisvel por 4.
  Todo nmero divisvel por 1  divisvel por 3.

5. Numa classe, formaram-se grupos de 6 alunos, mas 2 alunos ficaram sem grupo. A classe tinha mais de 20 e menos de 40 alunos. Quantos alunos ela podia ter? (Cuidado: h mais de uma possibilidade.)
 6. Se Rosana colocar seus CDs de msica em pilhas de 6, vai sobrar um CD. Mas se ela os colocar em pilhas de 7, a no vai sobrar nenhum. Ela tem entre 20 e 70 CDs. Descubra quantos CDs ela tem.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<104>
3- Os nmeros primos

  Todo nmero natural no nulo  divisvel por 1 e por ele mesmo. Por exemplo:
<R+>
 9  divisvel por 1, 3 e 9.
 10  divisvel por 1, 2, 5 
  e 10.
 11  divisvel por 1 e 11.
 12  divisvel por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
 13  divisvel por 1 e 13.
<R->
  Observe que o nmero 11 s  divisvel por 1 e por 11, e o nmero 13 s  divisvel por 1 e por 13. Os nmeros 11 e 13 so nmeros primos.

  Um nmero  primo quando s  divisvel por dois nmeros naturais diferentes: 1 e ele mesmo.

Como saber se um nmero  primo?

  Para responder a essa pergunta, vamos analisar dois exemplos:

Exemplo

<R+>
1. 91  um nmero primo?
  Para saber se 91  um nmero primo, verificamos se ele  divisvel por 2, 3, 4, 5 e, assim, at 90. Se for divisvel por um deles, 91 no  primo; em caso contrrio,  primo.
  Utilizando os critrios de divisibilidade, voc pode verificar que:
  91 no  divisvel por 2, nem por 3, 4, 5 ou 6.
  91  divisvel por 7: 917=13
  Logo, 91 no  um nmero primo.
 2. 17  um nmero primo?
  Verificamos se 17  divisvel por 2, 3, 4, 5 e assim at 16.
  Voc pode faz-lo mentalmente. Voc ver que 17 no  divisvel por nenhum deles.
  Logo, 17  um nmero primo.
<R->

<105>
Tabela de nmeros primos

  Vamos construir a tabela dos nmeros primos de 1 a 50 usando o mtodo de Eratstenes, um mate-
<P>
mtico grego que viveu h mais de 2000 anos.
<R+>
 1 Escreva os nmeros naturais de 1 at 50.
 2 Risque o nmero 1: ele no  um nmero primo.
 3 Circule o prximo nmero, que  2: ele  um nmero primo. Mas risque os outros nmeros divisveis por 2. Portanto, risque 4, 6, 8 etc.
 4 Circule o prximo nmero, que  3: ele  um nmero primo. Mas risque os outros nmeros divisveis por 3. Portanto, risque 6, 9, 12 etc.
 5 O prximo nmero  4, que j foi riscado. Circule ento o prximo, que  5: ele  um nmero primo. Mas risque 10, 15, 20 etc.
<P>
 6 Continue assim at que no haja mais nmeros a serem riscados.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<106>
Atividades

27. Considere os nmeros 15, 16, 17 e 18. Quais deles so primos?

28. Explique por que:
 a) 25 no  um nmero primo;
 b) 1 no  um nmero primo;
 c) 0 no  um nmero primo.

29. Responda:
 a) 24  divisvel por quantos nmeros naturais?
 b) 24  divisvel por quantos nmeros primos?

30. Diga por que 458, 987 e 1.335 no so primos.
<P>
 31. Verifique quais so nmeros primos: 53, 63, 79, 86, 95, 99

Pensando em casa

32. O nmero 39  primo?
 33. Considere os nmeros 11, 12, 13 e 14. Quais deles so primos?
 34. O nmero 111  primo? Por qu?
 35. Por que todos os nmeros naturais pares maiores que 2 no so primos?
 36. Multiplicando 499 por 997, obtm-se um nmero que no  primo. Explique por qu.
 37. Usando o crivo de 
  Eratstenes, faa a tabela dos nmeros primos de 1 a 100.
 38. Verifique quais so nmeros primos: 103, 105, 107, 117, 147, 998

_`[{o menino diz: "No fique com dvidas. Quando necessrio, pergunte a seu professor." A menina sugere: "s vezes voc pode tirar suas dvidas relendo os exemplos do captulo."_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<107>
4- Decomposio em fatores 
  primos

  Considere o nmero 70. H mais de uma maneira de escrever 70 na forma de uma multiplicao de dois fatores menores que 70.

70=2'35
 70=5'14
 70=7'10

  Os nmeros 10, 14 e 35 tambm podem ser escritos na forma de multiplicao de dois fatores menores.

70=2'35 
  35=5'7
  70=2'(5'7)
<P>
 70=5'14
  14=2'7
  70=5'(2'7)
 70=7'10
  10=2'5
  70=7'(2'5)
 70=2'5'7
   fatores primos: 2, 5, 7

  Agora que todos os fatores so nmeros primos, no  mais possvel escrever nenhum deles como produto de dois fatores menores.
  Dizemos ento que 2'5'7  a decomposio de 70 em fatores primos.

  Decompor um nmero natural em fatores primos  escrever esse nmero na forma de uma multiplicao, na qual todos os fatores so nmeros primos.

Exemplos

<R+>
1. Vamos decompor 110 em fatores primos.
  Verificamos inicialmente se 110  divisvel pelo menor nmero primo: 1102=55. Logo, 110=2'55
  A seguir, perguntamos:
  55  divisvel por 2? No.
  55  divisvel por 3? No.
  55  divisvel por 5? .
  555=11. Logo, 55=5'11
  Ento, temos:
  110=2'55 
  55=5'11 
  110=2'5'11
<108>
  Agora, todos os fatores so nmeros primos. Logo, a decomposio em fatores primos est feita: 110=2'5'11.
  Tudo isso costuma ser feito de maneira abreviada, assim:

<F->
110 l 2
55  l 5
11  l 11
1   l
<F+>
110=2'5'11

2. Vamos decompor 792 em fatores primos.
<R->
<P>

<F->
792 l 2
396 l 2
198 l 2
99  l 3
33  l 3
11  l 11
1   l 
<F+>
 792=2'2'2'3'3'11
 792=23'32'11

Curiosidade

  A palavra primo significa *primeiro*. Os nmeros primos so "os primeiros" devido  sua importncia. Por que so importantes?
  Porque os outros podem ser escritos a partir deles, com multi-
 plicaes. Veja, ento, que os nmeros primos "formam" os outros nmeros com a multiplicao.

 2  primo 
 3  primo 
 4  formado por 2'2 
 5  primo 
 6  formado por 2'3 
 7  primo 
 8  formado por 2'2'2
 9  formado por 3'3
 10  formado por 2'5
 11  primo
 12  formado por 2'2'3
 e assim por diante.

Atividades

<R+>
39. Diga qual  o nmero natural que tem esta decomposio em fatores primos:
 a) 2'32'5 
 b) 13'17 
 c) 22'112
 d) 25'3

40. Decomponha em fatores primos:
 a) 75  
 b) 78  
 c) 84
 d) 196
 e) 407
 f) 128
<P>
41. As idades atuais dos meus trs irmos so nmeros primos. O produto das trs idades  195. Que idade eles tm?

<109>
Pensando em casa

42. Qual  o menor nmero primo?

43. Decomponha em fatores primos:
 a) 55 
 b) 56 
 c) 90 
 d) 121
 e) 275
 f) 300

44. Decomponha em fatores primos:
 a) 243
 b) 625
 c) 729
 d) 1.024
<P>
45. Os nmeros primos de 101 a 150 so estes: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149
  Usando essa informao, decomponha em fatores primos:
 a) 411
 b) 707
 c) 1.111
 d) 1.490

Desafios e surpresas

7. 199  um nmero primo. Depois dele, qual  o prximo nmero primo?

8. Um certo nmero tem esta decomposio: 3'5'11'135. Esse nmero  muito grande, e voc no precisa fazer o clculo. Apenas responda:
 a) Esse nmero  divisvel por 11? Explique por qu.
 b) Esse nmero  divisvel por 15? Explique por qu.
<P>
9. Estas quatro letras podem ser encaixadas formando um retngulo. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

  As cinco letras seguintes, no. Mesmo sem tentar encaix-las, voc pode explicar por que no  possvel formar um retngulo com elas. Faa isso.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<110>
5- Mltiplos e padres

  As palavras mltiplo e multi-
 plicao tm a mesma origem. Um mltiplo de 7  o resultado da multiplicao de qualquer nmero natural por 7. Por exemplo:
<R+>
  3'7=21; logo, 21  um mltiplo de 7.
<P>
  4'7=28; logo, 28  um mltiplo de 7.
  Os nmeros 22, 23, 24, 25, 26 e 27 no so mltiplos de 7.
<R->

  Mltiplo de um nmero natural  todo resultado da multiplicao desse nmero por qualquer nmero natural (ou seja, por 0 ou 1 ou 2 ou ...).

Ateno

  Como voc j deve ter observado, dizer 21  um mltiplo de 7  o mesmo que dizer 21  divisvel por 7.
  Ser mltiplo de  o mesmo que ser divisvel por. Mas existe uma exceo: o zero.
  Pode-se falar em mltiplo de zero, porque existem multiplicaes por zero. Mas no se pode falar que um nmero  divisvel por zero porque no existe diviso por zero.

A sequncia dos mltiplos de um 
  nmero

  Para obtermos todos os mlti-
 plos de 3, multiplicamos 3 pelos nmeros naturais: 3'0=0; 3'1=3; 3'2=6; 3'3=9; 3'4=12; ...
  Obtemos assim a sequncia dos mltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, ...
  As reticncias indicam que a sequncia no termina: somando 3 ao 12, obtemos 15; somando 3 ao 15, obtemos 18, e assim por diante. Esse  um padro da sequncia: ela vai aumentando, nesse caso "de 3 em 3".
  Para citar mais um exemplo, veja a sequncia dos mltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, ...
  Observe o padro: de um nmero para o seguinte so acrescentadas 5 unidades.
  Agora, uma pequena surpresa: o que acontece se quisermos escrever a sequncia dos mltiplos de zero? Veja: 0'0=0; 0'1=0; 0'2=0; 0'3=0; ...
  Concluso: zero  especial porque s tem um mltiplo, o prprio zero. Por outro lado (cuidado, no faa confuso!), zero  mltiplo de todos os nmeros:
<R+>
   mltiplo de 5, pois 5'0=0;
   mltiplo de 1.000, pois 1.000'0=0;
  e assim por diante. 
<R->

<111>
Sequncias relacionadas com 
  sequncias de mltiplos

  Observe as sequncias:
 0, 5, 10, 15, 20, ...
 2, 7, 12, 17, 22, ...
  Nas duas sequncias h um mesmo padro: de um nmero para o seguinte so acrescentadas 5 unidades. Entretanto, as sequncias so diferentes.
  A primeira  a sequncia dos mltiplos de 5. A segunda, podemos descrever como a sequncia dos mltiplos de 5, somados com 2.
  Para resolver certos problemas,  til relacionar uma sequncia de mltiplos com outra.

Exemplo

  As Copas do Mundo de Futebol ocorreram em 1998, 2002, 2006, 2010 etc. Essa sequncia aumenta de 4 unidades de um nmero para outro. Seus nmeros so mltiplos de 4, somados com 2. (Veja que 2002, dividido por 4, deixa resto 2.)
  Para saber se haver Copa do Mundo em 2080, basta verificar se esse nmero  mltiplo de 4, somado com 2. Como isso no ocorre '2.080  divisvel por 4, no haver Copa do Mundo em 2080.
<P>
Atividades

<R+>
46. Verifique se 30  mltiplo de:
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5
 e) 6
 f) 8

47. Diga se  verdade:
 a) 221  mltiplo de 17.
 b) 248  mltiplo de 21.
 c) 1.024  mltiplo de 32.

48. Qual  o menor nmero, diferente de zero, que  mltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8 e 12?

49. Escreva a sequncia:
 a) dos mltiplos de 4;
 b) dos mltiplos de 4, somados com 2.
<P>
50. Considere a sequncia dos mltiplos de 6.
 a) Qual  o maior mltiplo de 6 menor que 1.000? (Sugesto: divida 1.000 por 6 e voc descobrir.)
 b) Observe que o 4 mltiplo de 6  18=3"6 e que o 5 mltiplo de 6  24=4"6. Agora, descubra o 200 mltiplo de 6.
 c) A sequncia 1, 7, 13, 19, ...  a sequncia dos mltiplos de 6 somados com 1. Quais so os prximos trs nmeros dessa sequncia?
 d) Ainda na sequncia 1, 7, 13, 19, ..., qual  o ltimo nmero anterior a 1.000? (Sugesto: veja a primeira pergunta deste exerccio.)
 e) Qual  o 200 nmero da sequncia dos mltiplos de 6 somados com 1?

51. Os cadernos produzidos por uma grfica so embalados em caixas com 35 unidades. No depsito da grfica, h vrias dessas caixas e sabe-se que o total de cadernos  maior do que 1.000 e menor do que 2.000.
 a) Qual  o nmero mximo de cadernos que h no depsito?
 b) Qual  o nmero mnimo?

<112>
Pensando em casa

52. O nmero 111.111  mltiplo de 1.001? Por qu? _`[{use a calculadora_`]

53. Escreva os mltiplos de:
 a) 3, compreendidos entre 20 e 40.
 b) 4, compreendidos entre 10 e 30.

54. Considere os nmeros naturais de 11 a 20. Diga quais deles:
 a) so mltiplos de 2, mas no de 3;
 b) so mltiplos de 3, mas no de 2;
<P>
 c) so mltiplos de 2 e tambm de 3;
 d) no so mltiplos de 2 nem de 3.

55. Um satlite meteorolgico passa sobre a cidade de Recife de 5 em 5 horas. Amanh,  0 hora, ele passar sobre Recife. Pergunta-se:
 a) Amanh, o satlite passar sobre Recife diversas vezes. Em que horas, desde 0 hora at 24 horas, essas passagens acontecero? Desses nmeros, quais so mltiplos de 5?
 b) E depois de amanh, em que horas, de 0 a 24, essas passagens acontecero? Desses nmeros, quais so mltiplos de 5?

56. Descreva um padro destas sequncias:
 a) 0, 12, 24, 36, 48, ...
 b) 1, 13, 25, 37, 49, ...
<P>
57. O primeiro domingo de certo ms caiu no dia 2. Os outros domingos foram nos dias 9, 16, 23 e 30.
 a) Diga que sequncia  esta: 2, 9, 16, 23, 30, ...
 b) Escreva seu 100 nmero.

58. Olhando para o relgio, dizemos: so trs e trinta e cinco. Por que dizemos trinta e cinco, se o ponteiro grande aponta para o 7?

59. Responda:
 a) 12  mltiplo de alguns nmeros naturais. Quais so eles?
 b) 13  mltiplo de alguns nmeros naturais. Quais so eles?
 c) Se *p* indicar um nmero primo, ele ser mltiplo de que nmeros naturais?
<R->

<113>
<P>
Ao sobre mltiplos

Pim! Pam! Pum!

  Cada grupo de alunos forma uma roda. O primeiro conta:
  -- Um!
  O segundo diria dois, mas diz:
  -- Pim!
  O terceiro, em vez de trs, diz:
  -- Pam!
  E assim vai: nos mltiplos de 2, fala-se pim; nos mltiplos de 3, fala-se pam; e, nos mltiplos de 2 e 3, fala-se pim-pam.
  Ser que o grupo consegue contar at 100 sem errar? Se conseguir, h um outro desafio: incluir os mltiplos de 5:
  -- Pum!, para os mltiplos de 5.
  -- Pim-pum!, para os mltiplos de 2 e 5.
  -- Pam-pum!, para os mltiplos de 3 e 5.
  E, finalmente:
  -- Pim-pam-pum!, para os mltiplos de 2, 3 e 5.

               ::::::::::::::::::::::::

<114>
6- Mnimo mltiplo comum

  Um pas tem eleies para presidente de 4 em 4 anos, e para senador de 6 em 6 anos.
  Supondo que, neste ano, essas duas eleies coincidam, daqui a quantos anos elas voltaro a coincidir?
  Vamos analisar essa situao:
  O pas ter eleies para presidente dentro de 4, 8, 12, 16, ... anos.
  E, para senador, dentro de 6, 12, 18, 24, ... anos.
  Comparando esses nmeros, chegamos  resposta: as eleies voltaro a coincidir daqui a 12 anos.
  Observe que, nessa situao, procura-se um nmero assim:
<R+>
  ele deve ser mltiplo de 4 (eleies para presidente);
  ele deve ser mltiplo de 6 (eleies para senador);
  ele deve ser o menor possvel, excetuando o zero.
<R->
  Esse nmero  chamado de mnimo mltiplo comum de 4 e 6. Ele  indicado assim: mmc(4, 6)
  Para encontrar o mmc(4, 6), escrevemos a sequncia dos mltiplos de 4 e a dos mltiplos 
 de 6:
  Mltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
  Mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
<115>
  Depois, procuramos o menor mltiplo comum a 4 e a 6, diferente de zero:
  Mltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
  Mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
  Esse nmero  o 12. Ento: mmc(4, 6)=12
  As eleies voltaro a coincidir daqui a 12 anos.

  Tendo-se dois ou mais nmeros naturais no nulos, o mnimo mltiplo comum deles  o menor nmero no nulo que  mltiplo de todos eles.

Exemplo

  Vamos obter o mmc(6, 15).
  Mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
  Mltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, ...
  Procuramos o menor mltiplo comum a 6 e a 15, diferente de zero, e o circulamos.
  Mltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
  Mltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, ...
  Portanto, mmc(6, 15)=30.

Atividades

<R+>
60. Escreva os mltiplos de 2 
  e os mltiplos de 3, destaque 
  o menor mltiplo comum a 2 e 
  a 3 exceto o zero e d o mmc(2, 3).
 61. Escreva os mltiplos de 6 e os mltiplos de 9, destaque o menor mltiplo comum a 6 e a 9 exceto o zero e d o mmc(6, 9).

62. Obtenha:
 a) mmc(8, 10) 
 b) mmc(5, 6) 
 c) mmc(9, 12) 
 d) mmc(12, 15)

63. Em uma estao rodoviria, os nibus para a cidade A partem de 6 em 6 horas e para a cidade B, de 8 em 8 horas. Em certa ocasio, um nibus para a cidade A partiu com um outro para a cidade B. Quanto tempo depois isso aconteceu de novo?

<116>
<P>
Pensando em casa

64. Obtenha:
 a) mmc(3, 4)
 b) mmc(8, 12)
 c) mmc(15, 20)
 d) mmc(4, 14)

65. Efetue a diviso do mmc(4, 5) por:
 a) 4;
 b) 5.

66. Efetue a diviso do mmc(10, 25) por:
 a) 10;
 b) 25.

_`[{a menina pensa: "s vezes o mmc de dois nmeros  o produto deles. Mas nem sempre..."_`]

67. Um pas tem eleies para presidente de 5 em 5 anos e para governadores, de 4 em 4 anos. Em 1998, essas duas eleies coincidiram. D os 
<P>
  anos das trs prximas vezes em que elas voltaro a coincidir.

Desafios e surpresas

10. Um pas tem eleies para presidente de 4 em 4 anos e para senador, de 6 em 6 anos. Em 1987, houve eleies para presidente e, em 1988, para senador. As duas eleies podero cair alguma vez num mesmo ano? Explique sua resposta.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<117>
7- Clculo prtico e clculo 
  mental do mmc

  Agora, veremos um modo prtico de encontrar o mmc de dois ou mais nmeros. Inicialmente, observe que o produto de dois (ou mais) nmeros naturais sempre  mltiplo de todos eles. s vezes, esse produto  o mmc dos nmeros.
<P>
  Por exemplo:
 3'10=30
 mmc(3, 10)=30
  Outras vezes, o produto no  o mmc dos nmeros.
  Por exemplo:
 6'10=60
 mmc(6, 10)=30
  O que diferencia esses dois exemplos?
  Para responder, vamos usar a decomposio dos nmeros em fatores primos.
  Observe as decomposies de 3 e 10.

<F->
3 l 3
1 l

10 l 2
 5 l 5
 1 l
<F+>

  Elas no tm fatores comuns. 

mmc(3, 10)=30=3'2'5
<P>
  Agora, observe as decomposies de 6 e 10.
<F->
6 l 2
3 l 3
1 l

10 l 2
 5 l 5
 1 l
<F+>

  O nmero 2 aparece nas duas decomposies.

  Para obter o mmc(6, 10), no multiplicamos (2'3) por (2'5). O fator comum 2 no precisa ser repetido: mmc(6, 10)=30=
 =2'3'5
  Esses exemplos nos mostram que:
<R+>
  podemos usar a decomposio em fatores primos para calcular o mmc;
  o mmc de dois nmeros  o produto dos seus fatores primos, sem se repetirem os fatores comuns.
<R->

<118>
  Para calcular o mmc de dois ou mais nmeros, evitando a repetio dos fatores comuns, fazemos assim: decompomos simultaneamente todos os nmeros em fatores primos. O mmc deles ser ento o produto dos fatores primos encontrados.

Exemplos

<R+>
1. Vamos encontrar o mmc(6, 10) decompondo simultaneamente 6 e 10 em fatores primos:

<F->
6, 10 l 2
3, 5  l 3
1, 5  l 5
1, 1  l
<F+>
mmc(6, 10)=2'3'5
 mmc(6, 10)=30

2. Vamos calcular o mmc(8, 10, 12):
<R->
<P>
<F->
8, 10, 12 l 2
4, 5, 6   l 2
2, 5, 3   l 2
1, 5, 3   l 3
1, 5, 1   l 5
1, 1, 1   l
<F+>
mmc(8, 10, 12)=23'3'5
 mmc(8, 10, 12)=120

Clculo mental do mmc

  Com nmeros pequenos, o mmc pode ser calculado mentalmente. O processo  simples. Veja, por exemplo, como se encontra o mmc(6, 10).
  Tomamos o maior dos dois nmeros e seus mltiplos sucessivos: 10, 20, 30, 40 etc.
  Pela ordem, vamos verificando se eles so ou no mltiplos de 6. O primeiro que for ser o mmc(6, 10).
  Nesse caso, pensamos assim:
  10  mltiplo de 6? No.
  20  mltiplo de 6? No.
<P>
  30  mltiplo de 6? . Ento: mmc(6, 10)=30

<119>
Atividades

<R+>
68. Calcule:
 a) mmc(12, 16) 
 b) mmc(6, 35) 
 c) mmc(18, 30)
 d) mmc(12, 66)
 e) mmc(45, 60)
 f) mmc(30, 50)

69. Calcule mentalmente:
 a) mmc(7, 21) 
 b) mmc(6, 9) 
 c) mmc(6, 8) 
 d) mmc(10, 8)
 e) mmc(7, 10)
 f) mmc(8, 12)

70. Muitos cometas nos visitam de tempos em tempos. Um certo cometa passa pela Terra de 12 em 12 anos. Outro passa de 32 em 32 anos. Em 1913, os dois passaram por aqui. Qual foi a 
<P>
  ocasio seguinte em que os dois passaram pela Terra no mesmo ano?
 71. Uma rvore de Natal tem trs tipos de luzes. As vermelhas acendem a cada 8 segundos; as verdes, a cada 10 segundos; e as amarelas, a cada 12 segundos. Se elas acenderem todas juntas num determinado momento, depois de quantos segundos acendero juntas novamente?

72. Calcule:
 a) mmc(8, 12, 14)
 b) mmc(12, 16, 20)
 c) mmc(10, 11, 12)

73. 
 a) O que se pode afirmar sobre o mmc de dois nmeros primos diferentes?
 b) O que se pode afirmar sobre o mmc de dois nmeros naturais no nulos, quando um deles  mlti-
  plo do outro?
<P>
74. Neste exerccio, s use o lpis para dar a resposta. Diga qual  o:
 a) mmc(7, 11); 
 b) mmc(8, 80); 
 c) mmc(5, 605); 
 d) mmc(3, 13);
 e) mmc(9, 558);
 f) mmc(11, 55).

75. Calcule:
 a) mmc(907, 983), sabendo que 907 e 983 so nmeros primos;
 b) mmc(463, 2.315), sabendo que 2.315  mltiplo de 463.

Pensando em casa

76 Calcule:
 a) mmc(30, 45) 
 b) mmc(112, 140) 
 c) mmc(18, 27, 36)
 d) mmc(13, 39, 78)

77. Calcule mentalmente:
 a) mmc(2, 15) 
 b) mmc(6, 15) 
 c) mmc(5, 15) 
 d) mmc(5, 6)
 e) mmc(200, 300)
 f) mmc(110, 100)

78. Observando bem os nmeros deste exerccio, voc far o clculo mais rapidamente.
 a) mmc(17, 19)
 b) mmc(251, 502)
 c) mmc(101, 202, 606)
 d) mmc(101, 202, 404, 1.212)

79. Efetue a diviso do mmc(26, 65) por:
 a) 26;
 b) 65.

80. O cometa A visita a Terra de 26 em 26 anos; o cometa B, de 65 em 65 anos. Ambos visitaram a Terra em 1930.
 a) Qual ser a prxima ocasio em que os dois visitaro a 
  Terra no mesmo ano?
<P>
 b) Depois de 1930, quantas sero as passagens do cometa A at que os dois visitem a Terra no mesmo ano?

81. Calcule: mmc(10, 20, 30, 40, 50).
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<120>
8- Divisores e o mximo divisor 
  comum

  Duas frases podem ter o mesmo significado, apesar de utilizarem palavras diferentes. Por exemplo, "Gabriel  filho de Marcelo" significa que "Marcelo  pai de Gabriel".
  Na Matemtica, isso tambm acontece, como voc pode ver na seguinte definio:

  Dados dois nmeros naturais com o primeiro no nulo, dizemos que o primeiro  divisor do segundo se este for divisvel pelo primeiro.

  Por exemplo:
<R+>
  3  um divisor de 21, porque 21  divisvel por 3.
  5 no  divisor de 33, porque 33 no  divisvel por 5.
<R->
  Agora  s voc ir se acostumando a usar (tambm) a palavra divisor.
 2  divisor de 10 significa que 
  10  divisvel por 2

<121>
Encontrando divisores

  Veja um mtodo para obter os divisores de determinado nmero. Por exemplo, vamos encontrar os divisores de 30.
<R+>
  Comeamos por 1. Como 301=30, temos tambm 3030=1. J obtivemos dois divisores: 1 e 30.
  Continuamos com 2. Como 302=15, temos tambm 3015=2. Obtivemos mais dois divisores: 2 e 15.
  Pensando em 3, obtemos os divisores 3 e 10.
  Como 4 no  divisor, passamos ao nmero seguinte.
  Pensando em 5, obtemos 5 e 6, e isso encerra a pesquisa.
<R->
  Em ordem crescente, a sequncia dos divisores de 30  1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
  Observe que poderamos obt-la pensando em todas as multiplicaes de dois fatores com resultado 30:
 1"30=30
 2"15=30
 3"10=30
 5"6=30
 os divisores de 30

Mximo divisor comum

  Em algumas situaes (que veremos no prximo item),  til conhecer o maior divisor comum de dois ou mais nmeros. Veja como obter o maior divisor comum de 24 e 30:
  Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
<P>
  Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
  Os divisores comuns dos dois nmeros foram assinalados _`[no livro em tinta_`] em negrito (letra mais escura). So eles: 1, 2, 3, 6. O maior deles  6, denominado mximo divisor comum. Indicamos: mdc(24, 30)=6

  Havendo dois ou mais nmeros naturais no nulos, o mximo divisor comum deles  o maior divisor de todos eles.

<122>
Atividades

<R+>
82. Diga se  verdade:
 a) 9  divisor de 54.
 b) 12  divisor de 74.
 c) 13  divisor de 78.
 d) 20  divisor de 90.

83. Escreva a sequncia:
 a) dos divisores de 12;
 b) dos divisores de 24.

84. Saiba que 7'101=707 e que 7 e 101 so nmeros primos. Agora, escreva os quatro divisores de 707.

85. Encontre o mximo divisor comum de:
 a) 18 e 27;
 b) 24 e 36;
 c) 20, 30 e 40;
 d) 303 e 707.
 (Observe antes a atividade 84.)

86. Obtenha o mdc e o mmc de:
 a) 6 e 10;
 b) 3 e 5;
 c) 12 e 16;
 d) 7 e 8.

Pensando em casa

87. Responda: 45  divisor de 5 ou 5  divisor de 45?
 88. Quais so os divisores de um nmero primo qualquer?
 89. O nmero 13  divisor de quantos nmeros naturais?
 90. Diga se  verdade:
 a) 12  mltiplo de 4.
 b) 12  divisor de 4.
 c) Existem infinitos nmeros naturais que so divisores de 1.000.
 d) Existem infinitos nmeros naturais que so divisveis por 1.000.

91. Diga se  verdade:
 a) mdc(8, 12)"mmc(8, 12)=
  =8"12
 b) mdc(5, 7)"mmc(5, 7)=5"7

92. Encontre todos os divisores de 40.

93. Obtenha:
 a) mdc(15, 20)
 b) mdc(32, 40)

Desafios e surpresas

11. Esta  uma propriedade 
  curiosa: voc sabia que o 
  mdc`(a, b`)"mmc`(a, b`)=a"b? Por exemplo, mdc(20, 25)=5 e mmc(20, 25)=100. E temos 5"100=20"25.
 a) D mais um exemplo de que essa propriedade  verdadeira.
 b) Se mdc`(a, 12)=6 e mmc`(a, 12)=216, qual  o valor de a?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<123>
9- Problemas envolvendo 
  divisores e mltiplos

  Suponha que a empresa administradora das estradas *x*, *y* e *z* queira colocar telefones de socorro igualmente espaados nessas trs estradas, desejando, alm disso, que as distncias em quilmetros entre um telefone e o seguinte sejam as mesmas nas trs vias. Se *x* tem 60 km, *y* tem 48 km e *z* tem 36 km, qual deve ser a distncia entre os telefones?
  Da forma como est colocado, o problema tem vrias solues. Por exemplo, a distncia entre os telefones pode ser de 1 km, ou 2 km, ou 3 km, ou 6 km.
  Essas distncias atendem s condies do problema porque 1, 2, 3 e 6 so divisores comuns de 60, 48 e 36, o que faz com que os telefones fiquem igualmente espaados nessas estradas.
  Entretanto, se a empresa pretender instalar um nmero mnimo de telefones, para gastar o mnimo, devemos procurar o mdc(60, 48, 36). Como o mximo divisor comum desses nmeros  12, a distncia entre os telefones seria 12 km.

Outros problemas

  No exemplo anterior, voc viu um problema cuja soluo usa a ideia de divisor (ou, em um dos casos, de mximo divisor comum). Nos itens 5, 6 e 7 voc j viu alguns problemas que usam a ideia de mltiplo (e, s vezes, de mnimo mltiplo comum). Nas atividades a seguir, voc vai ver ou-
 tras situaes nas quais essas ideias podem ser usadas.

<124>
Atividades

<R+>
94. Suponha que uma empresa administradora tenha decidido que a distncia entre os telefones citados no exemplo do texto deva ser de 6 km. Sabendo que no haver telefone no incio nem no final de cada estrada, quantos telefones sero colocados?
 95. Um professor d aulas numa turma de 8 ano, de 30 alunos, e numa turma de 9 ano, de 18 alunos. Em cada sala ele formou grupos, e todos os grupos (tanto no 8 como no 9) tinham o mesmo nmero de alunos. Qual  o maior nmero de alunos que cada grupo pode ter?
 96. (FAAP-SP) Um certo planeta possui dois satlites naturais: lua A e lua B. O planeta gira em torno do Sol e os satlites, em torno do planeta, de forma que o alinhamento Sol-lua A-planeta ocorre a cada 18 anos e o alinhamento Sol-lua B-planeta ocorre a cada 48 anos. Se, em certo ano, ocorrerem os dois alinhamentos (isto , o alinhamento Sol-
  -planeta-lua A-lua B), esse fenmeno se repetir dali a quantos anos?
 97. Uma tecelagem fabrica peas de tecido de 45 m e 60 m. Desejando cort-las em partes de mesmo comprimento, sendo 60 o maior possvel, qual dever ser o comprimento de cada parte? 
  Aps o corte, quantas partes sero obtidas?

Pensando em casa

98. (Fuvest-SP) Duas composies do metr partem simultaneamente de um mesmo terminal, fazendo itinerrios diferentes. Uma delas torna a partir desse terminal a cada 80 minutos, enquanto a outra volta a partir a cada hora e meia. Determine o tempo decorrido entre duas partidas simultneas dessas composies, nesse terminal.
 99. Para uma gincana, os 72 alunos de 8 ano e os 60 de 9 ano sero divididos em equipes, todas com um mesmo nmero de alunos. Se as equipes devem ter entre 3 e 10 membros, sendo todos de uma mesma srie, descubra quantos membros cada uma pode ter.
 100. (Unesp) Um carpinteiro recebeu a incumbncia de cortar 40 toras de madeira, de 8 metros cada uma, e 60 toras da mesma madeira, de 6 metros cada uma, em toras do mesmo comprimento, sendo esse o maior possvel. Nessas condies, quantas toras devero ser obtidas ao todo pelo carpinteiro?
<P>
 101. Um remdio deve ser tomado diariamente em intervalos regulares. O fabricante quer que a durao desses intervalos seja um nmero inteiro de horas (como 3 horas, e nunca 3 horas e meia). Alm disso, o fabricante quer que os horrios em que se deve tomar o remdio no mudem de um dia para outro. Existem vrias possibilidades para a durao dos intervalos que satisfazem essas exigncias do fabricante. Quais so elas?
 102. O que se pode afirmar sobre o mdc de dois nmeros naturais no nulos quando um deles  divisor do outro?

Desafios e surpresas

12. (PUC-MG) Um colecionador possui um nmero de moedas antigas compreendido entre 150 e 200. Agrupando essas moedas de 12 em 12, de 15 em 15 ou 
<P>
  de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Quantas moedas tem esse colecionador?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte
